Прежде чем говорить про четные и нечетные числа, стоит уяснить несколько моментов о том, какие вообще группы чисел бывают. Это необходимо для того, чтобы не пытаться выяснять четность дроби.
С каких чисел начинается изучение в основной школе?
Первыми идут натуральные. Они также сначала появились исторически. Человечеству было необходимо подсчитывать предметы. Причем при счете ноль не используется, поэтому он не входит в группу натуральных чисел. Здесь все целые, которые больше единицы.
Именно для них впервые дается определение четности. Чтобы понять, какое число нечетное, нужно запомнить признак четного. Оно заканчивается на одну из цифр: 0, 2, 4, 6, 8. Все остальные будут нечетными. Минимальное из них равно единице. Максимального не существует.
Какие числа идут дальше?
Целые. В их множество входит уже ноль и все отрицательные числа. Цепочка натуральных чисел была ограничена слева, а вправо продолжалась бесконечно. С целыми оказывается бесконечное количество чисел и слева от нуля.
В этот момент немного меняется определение четности. Оно теперь должно делиться на два без остатка. Значит, нечетные числа при делении на два дают ответ с остатком.
Причем даже вводится общая запись: для четных — 2n, нечетные — (2n+1). Если для натуральных не существует только максимального четного или нечетного, то у целых нет и минимального.
А что потом?
Рациональные (другое название - вещественные) числа. Кроме уже упомянутых, в это множество входят еще и дроби. То есть числа, которые можно представить в виде двух. Первое из них является числителем и представляется в виде целого числа. Второе — знаменатель, который никогда не равен нулю.
Кстати, для них не вводится понятие четности. Поэтому нечетные числа, записанные в виде дроби, не существуют вовсе.
Какие результаты дают действия с четными и нечетными числами?
Их можно рассмотреть в порядке усложнения арифметического действия. Тогда первым и вторым пойдут сложение и вычитание. Неважно, какое из них выполняется, ответ будет зависеть только от начальной пары чисел. К примеру, если исходные числа четные, то результат действия будет делиться на два. Такой же итог будет, если стоит разность или сумма нечетных чисел. Чтобы получить нечетное число, придется складывать или вычитать четное с нечетным.
Это легко можно проверить, используя их общую запись. Например, сложение двух четных чисел: 2n+2n = 4n = 2*2n. Здесь 2n — четное число, которое еще умножается на два. Значит, оно точно будет делиться нацело на двойку. То есть ответ — четный.
При сложении четного с нечетным имеем такую запись: 2n + (2n + 1) = 4n + 1. Первое слагаемое — четное число, к которому прибавляется единица. Последнее слагаемое не даст разделить этот результат на два нацело.
Третье действие — умножение. При его выполнении всегда будет четный ответ, если есть хотя бы один множитель четный. В ситуации, когда перемножаются два нечетных числа, результатом окажется нечетное.
Для иллюстрации последнего потребуется сделать такую запись: (2n + 1) * (2n + 1) = 4n + 2n + 2n + 1 = 8n + 1. Опять первое слагаемое представляет собой четное число, а единица сделает его нечетным.
С четвертым действием — делением - все не так однозначно. Начать можно с двух четных. Во-первых, может получиться дробь, тогда о четности речи не идет. Во-вторых, результатом бывает целое число. Но и тогда однозначного ответа на вопрос о будущей четности получить невозможно. Оценить ее можно только после выполнения деления. Ответ может быть как четным, так и нечетным.
Если делится нечетное число на четное, то ответ оказывается всегда дробным. Значит, его четность не определяется.
Когда в делении участвуют нечетные числа, то результатом также может оказаться дробь. Но если ответ целый, то он обязательно будет нечетным.
При делении четного на нечетное, как в предыдущей ситуации, возможно два варианта: дробь или целое число. Во втором случае оно всегда будет четным.
Четные числа символизируют материальный мир и планомерную работу, утверждает нумерология.
Нечетные указывают на духовные искания и попытки творческого преобразования материального мира.
Четные числа показывают, что человек будет пытаться решать свои проблемы внутри себя, в собственной семье, среди своего ок ружения, в знакомой и привычной обстановке; это всегда закреп ление нового,.превращение нового в привычное путем материаль ных и физических усилий.
Нечетные числа указывают на решение проблем в первую оче редь в окружающем мире и с его помощью. Они говорят о конф ликте личности с миром. Человек разрешает его, расширяя созна ние, овладевая миром вещей и чувств и познавая законы природы. Это познание нового путем духовных усилий.
Четные числа связаны с разрешением человеческих конфликтов:
2 - внутренних на уровне эмоций;
4 - в семье и в небольших коллективах;
6 и 8 - между большими группами людей, народами, культу рами. Это конфликты, имеющие отношение к управлению обществом и потоками информации.
Нечетные числа означают конфликт человека с миром на уровне: 1 - желаний и возможностей;
3 - открытия мира и выбора своего места в нем;
5 - завоевания мира;
7 - познания мира и законов творчества; 9 - постижения смысла жизни.
Те и другие конфликты с нарастанием значения числа все больше превращаются из личных в общественные, подчиняясь социаль ным задачам. Числа определяют эволюцию конфликтов. Все чис ла порождают агрессию, но чем больше число, тем она разумнее. Четные числа содержат в себе внутреннюю агрессию, которая час то внутри же и реализуется.
Нечетное число старается открыть человека для мира, а четное, наоборот, пытается его от мира спрятать. А смысл любого числового конфликта заключается в его устранении посредством физи ческих или духовных усилий.
Числа от 1 до 9 являются основными и образуют все другие, например: 10 = 1 +0 = 1, а значит, первая ступень. Многозначные 13 = 7 + 6 - гибель в неравной борьбе;
13 = 8 + 5 - самоубийство;
13 = 9+4 - преждевременная смерть от неподходящих условий жизни;
13 = 10+3 - смерть в родах;
13 =11 + 2 - смерть от сознания трагичности двойственного положения;
13 = 12+1 - переход адепта в другой план как следствие завер шения его задачи на Земле.
В нумерологии подчеркивает искушения (от Князя тьмы), кар му страха и лени.
14 - это число, составленное из двух семерок, у древних каббалистов считалось счастливым и обозначало число превращений, метаморфоз. Символ умеренности (при нарушении формируется карма неумеренности).
15 - ч исло духовных вознесений; пятнадцатое число седьмого месяца было уважаемо и освящено. Оно таинственно связано с проблемами добра и зла, незаметно может сделать человека рабом пентаграмм (5). Для каббалистов оно представляло Гения зла.
16 - п ифагорейцами почиталось как счастливое, так как пред ставляло собой совершенный четырехугольник. Предупреждает о возможной гордыне (при нарушении формирует карму гордыни и неумение решать любовные вопросы).
17 - число Божьей Матери, покровительницы христиан.
18 - из-за недостаточной духовности - число зелья и рока, суеверия и ошибок, несчастливое.
19 - в Каббале считается благоприятным числом, так как со стоит из двух счастливых чисел: 1 и 9, которые, будучи сложенны ми, дают 10 - совершенное число, число закона. Это также число солнца, золота и философского камня. Предостерегает от зацик-ленности на своих мелких проблемах (при нарушениях формиру ет карму зацикленности).
20 - ч исло истины, веры, здоровья. Но теологи считают его не счастным, особенно в партнёрстве: это - или качественный скачок на высшую ступень отношений, или быстрое падение. (Не стремитесь утирать нос другим!)
21 - Корона магии, связь с Высшим разумом. Число прорицаний, состоящее из трех семерок или семи троек. Оба сочетания обладают очень сильными магическими свойствами, обеспечива ют помощь Высших сил просящему человеку.
22 - Господствующее (Главное), число Высшего разума. У это го числа достаточно сил для воплощения крупных замыслов. Для направления духовных и физических сил в нужное русло требуются мудрость, разум и терпение, иначе многое может быть растрачено в хвастовстве, прикрывающем комплекс неполноценности.
28 - число Бога, Творца Вселенной. Число дней лунного меся ца, поэтому предвещает благосклонность Луны.
30 - Число 30 замечательно по многим тайнам. Разум, не зна ющий предела и преград. Предупреждает о возможном получении крупной суммы и о ее возможной потере (при явном корыстолюбии).
31 - число подчёркивает добродетель или указывает на корень зла (духовное растление).
32 - у пифагорейцев - число правосудия, так как оно может последовательно делиться на равные части, не отдавая ни одной предпочтения. Еврейские ученые приписывали ему мудрость, вер ность, владение магией заклинаний.
33 - Господствующее (Главное) число в нумерологии. Это со четание чисел придает больше действенности содержащейся в них шестёрке и выражает прозрение, озарение, осознанное служение людям, самоотдачу, доверие, которые, однако, не должны перехо дить в самоотречение и мученичество, граничащее с безответственностью.
40 - число абсолютной законченности. По словам Святого Августина, оно отражает наше путешествие к истине, наш путь на небо. Мы отмечаем 40 дней после смерти близких. Сорок дней и ночей лил дождь при потопе, 40 дней провел Иисус в пустыне... Число 40 символизирует здоровье. Может, отсюда берет истоки вера людей, что для нормального внутриутробного разви тия ребенка нужно носить его 7 х 40 = 280 дней - десять (полное?и сло) лунных месяцев. Слово карантин в буквальном переводе означает сорокадневный период. Мы можем вспомнить также и русское выражение сорок сороков, и многие другое. В негативе указывает на беспредельную власть (деспота) в стра не или семье.
50 - означает освобождение от рабства и полную свободу.
60 - как и 3,7,12, издревле считалось священным числом. Хал дейские маги, умевшие производить сложнейшие астрономические вычисления, наряду с десятиричной системой пользовались шестидесятиричной. Осколки этих знаний дошли и до нас: круг делится на 60 градусов, в каждом градусе 60 минут по 60 секунд в каждой, час длится 60 минут и т. д.
72 - имеет большое сходство с 12.
100 - выражает полное совершенство.
1000 (куб десяти) - отражает абсолютное совершенство.
По словам многих каббалистов, простые числа представляют божественные вещи, десятки - небесные, тысячи - сущность бу дущих веков.
Господствующими числами в нумерологии считаются 11,22 и 33.
Освежим в памяти понятия Универсального и Персонального годов. Они в следующей теме нам понадобятся (см. тему Экс курсии).
Число Универсального года (УГ) определяет качества событий и явлений мира и нужно для нахождения числа Персональ ного года. Такие вибрации влияют на человека, места и другие предметы. Универсальный год определяется сложением цифр лю бого рассматриваемого года и последующим преобразованием в однозначное число (кроме Господствующих чисел).
Вибрации Персонального года (ПГ) влияют непосредственно на человека. Мы все имеем свои персональные вибрации. В один и тот же Универсальный год человек с определенным Персональным числом принимает вибрации, отличные от тех, которые при нимает человек с другим Персональным числом. Многие имеют одинаковые Персональные числа, вибрирующие для них в одно и то же время, но каждый может использовать или интерпрети ровать их по-разному. Находится Персональный год суммой дня, месяца рождения и номера Универсального года.
Определения
- Чётное число - целое число, которое делится без остатка на 2: …, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, …
- Нечётное число - целое число, которое не делится без остатка на 2: …, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9, …
В соответствии с этим определением нуль является чётным числом.
Если m чётно, то оно представимо в виде , а если нечётно, то в виде , где .
В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции.
В России и странах СНГ чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим. Однако, в случаях, когда в букете много цветов (обычно больше ), чётность или нечётность их количества уже не играет никакой роли.
Например, вполне допустимо подарить юной даме букет из 12 или 14 цветов или срезов кустового цветка, если они имеют множество бутонов , у которых они, в принципе, не подсчитываются.
Тем более это относится к б́ольшему количеству цветов (срезов), даримых в других случаях.
Примечания
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Чётные и нечётные числа" в других словарях:
Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия
Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия
Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия
Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия
Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия
Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия
Слегка избыточное число, или квазисовершенное число избыточное число, сумма собственных делителей которого на единицу больше самого числа. До настоящего времени не было найдено ни одного слегка избыточного числа. Но со времён Пифагора,… … Википедия
Целые положительные числа, равные сумме всех своих правильных (т. е. меньших этого числа) делителей. Например, числа 6 = 1+2+3 и 28 = 1+2+4+7+14 являются совершенными. Ещё Евклидом (3 в. до н. э.) было указано, что чётные С. ч. можно… …
Целые (0, 1, 2,...) или полуцелые (1/2, 3/2, 5/2,...) числа, определяющие возможные дискретные значения физических величин, которые характеризуют квантовые системы (атомное ядро, атом, молекулу) и отдельные элементарные частицы.… … Большая советская энциклопедия
Книги
- Математические лабиринты и ребусы, 20 карточек , Барчан Татьяна Александровна, Самоделко Анна. В наборе: 10 ребусов и 10 математических лабиринтов на темы: - Числовой ряд; - Чётные и нечётные числа; - Состав числа; - Счёт парами; - Упражнения на сложение и вычитание. В комплекте 20…
Целое число называется четным, если оно делится на 2; в противном случае оно называется нечетным. Таким образом, четными числами являются
и нечетными числами -
Из делимости четных чисел на два вытекает, что каждое четное число можно записать в виде , где символ обозначает произвольное целое число. Когда некоторый символ (подобно букве в рассматриваемом нами случае) может представлять любой элемент некоторого определенного множества объектов (множества целых чисел в нашем случае), мы говорим, что областью значений этого символа является указанное множество объектов. В соответствии с этим в рассматриваемом случае мы говорим, что каждое четное число может быть записано в виде , где область значений символа совпадает с множеством целых чисел. Например, четные числа 18, 34, 12 и -62 имеют вид , где соответственно равно 9, 17, 6 и -31. Нет особой причины использовать здесь именно букву . Вместо того чтобы говорить, что четными числами являются целые числа вида равным образом можно было бы сказать, что четные числа имеют вид или или
При сложении двух четных чисел в результате получается тоже четное число. Это обстоятельство иллюстрируется следующими примерами:
Однако для доказательства общего утверждения о том, что множество четных чисел замкнуто относительно сложения, недостаточно набора примеров. Чтобы дать такое доказательство, обозначим одно четное число через , а другое - через . Складывая эти числа, можно написать
Сумма записана в виде . Из этого видна ее делимость на 2. Было бы недостаточно написать
поскольку последнее выражение представляет собой сумму четного числа и того же самого числа. Иными словами, мы доказали бы, что удвоенное четное число есть опять четное число (в действительности делящееся даже на 4), в то время как нужно доказать, что сумма любых двух четных чисел есть число четное. Поэтому мы использовали обозначение для одного четного числа и для другого четного числа с тем, чтобы указать, что эти числа могут быть и разными.
Какое обозначение можно использовать для записи любого нечетного числа? Отметим, что при вычитании 1 из нечетного числа получается четное число. Поэтому можно утверждать, что любое нечетное число записывается виде Запись такого рода не единственна. Подобным же образом мы могли бы заметить, что при прибавлении 1 к нечетному числу получается четное число, и могли бы заключить отсюда, что любое нечетное число записывается в виде
Аналогично можно сказать, что любое нечетное число записывается в виде или или и т. д.
Можно ли утверждать, что каждое нечетное число записывается в виде Подставляя в эту формулу вместо целые числа
получаем следующее множество чисел:
Каждое из этих чисел нечетно, однако ими не исчерпываются все нечетные числа. Например, нечетное число 5 не может быть так записано. Таким образом, неверно, что каждое нечетное число имеет вид , хотя каждое целое число вида нечетно. Аналогично неверно, что каждое четное число записывается в виде где область значений символа k есть множество всех целых чисел. Например, 6 не равно какое бы целое число ни взять в качестве А. Однако каждое целое число вида четно.
Соотношение между этими утверждениями - то же самое, что и между утверждениями «все кошки - животные» и «все животные - кошки». Ясно, что первое из них верно, а второе - нет. Это соотношение будет обсуждаться дальше при разборе утверждений, включающих фразы «тогда», «только тогда» и «тогда и только тогда» (см. § 3 гл. II).
Упражнения
Какие из следующих утверждений верны и какие ложны? (Предполагается, что областью значений символов является совокупность всех целых чисел.)
1. Каждое нечетное число может быть представлено в виде
2. Каждое целое число вида а) (см. упр. 1) нечетно; это же имеет место для чисел вида б), в), г), д) и е).
3. Каждое четное число может быть представлено, в виде
4. Каждое целое число вида а) (см. упр. 3) четно; то же самое имеет место для чисел вида б), в), г) и д).
Признак чётности
Если в десятичной форме записи числа последняя цифра
является чётным числом (0, 2, 4, 6 или 8), то всё число так же является чётным, в противном случае - нечётным.
42
, 104
, 11110
, 9115817342
- чётные числа.
31
, 703
, 78527
, 2356895125
- нечётные числа.
Арифметика
- Сложение и вычитание:
- Ч ётное ± Ч ётное = Ч ётное
- Ч ётное ± Н ечётное = Н ечётное
- Н ечётное ± Ч ётное = Н ечётное
- Н ечётное ± Н ечётное = Ч ётное
- Умножение:
- Ч ётное × Ч ётное = Ч ётное
- Ч ётное × Н ечётное = Ч ётное
- Н ечётное × Н ечётное = Н ечётное
- Деление:
- Ч ётное / Ч ётное - однозначно судить о чётности результата невозможно (если результат целое число , то оно может быть как чётным, так и нечётным)
- Ч ётное / Н ечётное = если результат целое число , то оно Ч ётное
- Н ечётное / Ч ётное - результат не может быть целым числом, а соответственно обладать атрибутами чётности
- Н ечётное / Н ечётное = если результат целое число , то оно Н ечётное
История и культура
Понятие чётности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение. Так, в древнекитайской мифологии нечётные числа соответствовали Инь , а чётные - Ян .
В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции, например в США , Европе и некоторых восточных странах считается что чётное количество даримых цветов приносит счастье . В России чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим; в случаях когда в букете много цветов, чётность или нечётность их количества уже не играет такой роли.
Примечания
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Четные числа" в других словарях:
Во многих культурах, особенно в вавилонской, индуистской и пифагорейской, число есть фундаментальный принцип, лежащий в основе мира вещей. Оно начало всех вещей и той гармонии вселенной, стоящей за их внешней связью. Число это основной принцип… … Словарь символов
Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия
ЧИСЛА - ♠ Значение сна зависит от того, где именно и в каком виде вы видели приснившееся вам число, а также от его значения. Если число было в календаре это предупреждение о том, что в этот день вас ждет важное событие, которое перевернет всю вашу… … Большой семейный сонник
Пифагор и пифагорейцы - Пифагор родился на Самосе. Расцвет его жизни приходится на 530 е годы до н.э., а смерть на начало V в. до н.э. Диоген Лаэртский, один из известных биографов античных философов, сообщает нам: Молодой и жадный до знаний, он покинул отечество,… … Западная философия от истоков до наших дней
"Сакральный" смысл чисел в верованиях и учениях - К материалу "07.07.07. Влюбленные всего мира поверили в магию чисел" С глубокой древности числа играют важную и многогранную роль в жизни человека. Древние люди приписывали им особые, сверхъестественные свойства; одни числа сулили… … Энциклопедия ньюсмейкеров
П., сын Мнезарха, уроженец Самоса, процветал при тиране Поликрате (533 2 или 529 8 г.; Busolt, Gr. Gesch. , II, 233, 1) и основал общество в Кротоне, италийском городе, находившемся в тесных сношениях с Самосом. По словам Гераклита, он был ученее … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
В криптографии под случайным простым числом понимается простое число, содержащее в двоичной записи заданное количество битов, на алгоритм генерации которого накладываются определенные ограничения. Получение случайных простых чисел является… … Википедия
Раздел теории чисел, в к ром изучаются задачи о разложении целых чисел на слагаемые заданного вида, а также алгебраич. и геометрич. аналоги таких задач, относящиеся к полям алгебраич. чисел и к множествам точек решетки. Эти задачи наз.… … Математическая энциклопедия
В теории чисел счастливое число является натуральным числом множества генерируемое «решетом», аналогичным решету Эратосфена, которое генерирует простые числа. Начнем со списка целых чисел, начиная с 1: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,… … Википедия
НУМЕРОЛОГИЯ - методы определения скрытых истин с помощью толкования чисел. В основе нумерологии лежит идея о том, что каждое число является символом неких понятий. Например, 1 это единство, Бог, начало и неделимость; 2 двойственность, разделение, анализ,… … Символы, знаки, эмблемы. Энциклопедия
